化学徒の備忘録(かがろく)|化学系ブログ

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物質波と電子波とドブロイの関係式

量子化学

物質波

ミクロな視点では、電子のような粒子が波の性質をもつ。

アインシュタインの相対性理論によると、エネルギー $E$ と運動量 $p$ の間には次の関係が成り立つ。

$E^2 = c^2 ( m^2 c^2 + p^2 )$

ここで $m$ は質量、 $c$ は光の速さ、 $p$ は運動量である。

光子の場合は、 $m =0$ となるため、 $E = pc$ となる。

そこで $E= h \nu$ と $\lambda \nu = c$ を用いると、光子の運動量は次のような式が成り立つと考えられる。

$\displaystyle p = \frac{h \nu }{c} = \frac{h}{ \lambda }$

この式が成り立つことは、コンプトンが電子がX線の光子によって散乱されるコンプトン効果を観察し、確かめられている。

さらに上の式を書き換えると次のようになる。

$p \lambda =h$

つまり粒子に関する運動量 $p$ と波動に関する波長 $\lambda$ の積は量子に関する値であるプランク定数 $h$ となる。

ド・ブロイの関係式

ドブロイは電磁波が光子としての粒子性をもつように、粒子とみなされていた電子にも波動性があると提案した。一般的に、物質粒子が示す波動性を物質波、電子が示す波動性を電子波という。

特に波動に関する下の式をド・ブロイの関係式という。

$\displaystyle \lambda = \frac{h}{p}$

ド・ブロイの関係式から電子波の波長を求めることができる。

質量 $m$ の電子に電圧 $V$ をかけることで、速度が $v$ となったと考える。この運動量 $p = mv$ となり、運動エネルギーは $\frac{1}{2} mv^2 = eV$ となる。このとき、ドブロイの関係式から以下の関係式が求められる。

$\displaystyle \lambda = \frac{h}{ \sqrt{2meV} }$

この式を使うことで、加速電圧から電子の波長を求めることができる。