【量子化学基礎】ボーアの原子模型とボーア半径(電子の円運動の軌道半径)

ボーアの原子模型

ボーアは1913年に原子模型(ボーアの原子模型)を提案した。

ボーアは水素原子のスペクトル線の波長が飛び飛びの値で観測されることから、原子の構造を解明しようとした。このとき、ボーアが着目した原子模型は1911年にラザフォードが提案した原子模型である。ラザフォードは、放射線の一つのα線が金箔に衝突し、散乱されるときに、α線が来た方向に跳ね返される現象に着目し、正電荷をもつα線が跳ね返される理由は、原子の中心に正の電荷もつ原子核が存在しているためであると考えた。一方で負の電荷をもつ電子は、太陽に対する惑星のように、原子核の周りを回っているため、α線の散乱には、ほとんど関係していないと考えた。

ボーアは、ラザフォードの原子模型をベースにし、水素原子について原子模型を考案した。

ボーアの原子模型の電子の円運動の軌道半径

ここからは、原子番号が $Z$ の原子核の周りに電子が1個ある場合について考え、ボーアの原子模型の電子の円運動の軌道半径について求める。

まず円形の軌道に沿って、回転運動をする電子には、原子核と電子の間に働く静電気的な引力(クーロン力)が働くため、中心方向に向心力が働く。

$\displaystyle \frac{mv^2}{r} = \frac{Ze^2}{4 \pi \epsilon _0 r^2}$

左辺は質量 $m$ の電子が速度 $v$ で半径 $r$ の円周上を運動しているときの向心力である。

一般的にクーロン力は、２つの電荷の電気量 $Q_1$ と $Q_2$ の積に比例し、2つの距離の $r$ の2乗に反比例するという以下の式で求めることができる。

$\displaystyle (クーロン力) = \frac{Q_1 Q_2}{4 \pi \epsilon _0 r^2}$

そのため、 $Q_1 = Ze$ 、 $Q_2 = -e$ とすると、上の式から、電子に関する式の右辺を求めることができる。

位置エネルギーと運動エネルギーの和で与えられる全体のエネルギー $E$ について考える。クーロン力の位置エネルギーは距離が $r$ の位置から∞までクーロン力を積分した式で求めることができる。

$\displaystyle (クーロン力の位置エネルギー)= \int_{r}^{\infty} \frac{Q_1 Q_2}{4 \pi \epsilon _0 r^2} {d}r = \frac{Q_1 Q_2}{4 \pi \epsilon _0 r}$

$Q_1=Ze$ 、 $Q_2=-e$ の場合の位置エネルギーは $\frac{Ze^2}{4 \pi \epsilon _0 r}$ である。この位置エネルギーに電子の運動エネルギー $( \frac{1}{2} ) mv^2$ を加えると、ボーアの模型のエネルギー $E$ は以下の式のようになる。

$\displaystyle E= \frac{1}{2} mv^2 - \frac{Ze^2}{4 \pi \epsilon _0 r}$

ここでボーアの量子条件を導入する。これは、量子論の考えを適応することで、スペクトルに関する式を求めるためである。

$\displaystyle mvr = \frac{nh}{2 \pi} (n=1,2,3・・・)$

運動する粒子は速度 $v$ と質量 $m$ の積求められる運動量 $p=mv$ をもつ。回転半径 $r$ 、運動量 $p$ で回転運動する粒子の角運動量は $pr=mvr$ で求めることができる。そのため、ボーアの量子条件は角運動量がプランク定数 $h$ を円周1回りの角度 $2 \pi$ で割った $\frac{h}{2 \pi}$ の整数倍に限定されるという量子条件である。

この量子条件の式に、力に関する式とエネルギーに関する式を組み合わせることで、エネルギー $E_n$ が整数 $n$ に依存するという以下の式を求めることができる。

$\displaystyle E_n = - \frac{Z^2 W}{n^2}$

ここで、 $W$ は仕事関数であり、次の式で表される。

$\displaystyle W = \frac{me^4}{8 \epsilon _0 h^2}$

この値は水素原子から電子を取り去るために必要なイオン化エネルギーと等しい。

$n$ の値によって飛び飛びの値をもつエネルギー $E_n$ をエネルギー準位という。また、この $n$ を量子数という。

力に関する式とボーアの量子条件の式から電子の速度 $v$ を消去すると、量子数 $n$ の場合の、ボーア模型の電子の円運動の軌道半径 $r_n$ が求められる。

$\displaystyle r_n= \frac{n^2 a_0}{Z}$

$\displaystyle a_0 = \frac{ \epsilon_0 h^2 }{ \pi m e^2}$

$a_0$ は $Z=1$ 、 $n=1$ のときの軌道半径であり、ボーア半径といわれる。このボーア半径は水素原子の最小軌道半径を表す。

また、軌道半径については、次のことがいえる。

まず、 $r_n$ は量子数 $n$ の2乗に比例するため、量子数が大きくなると軌道半径は大きくなる。

一方、原子番号 $Z$ が大きくなると、軌道半径は原子番号 $Z$ に反比例して小さくなる。これは、負の電荷をもつ電子はより強く原子核に引き付けられるためと考えることができる。

ボーア模型で、エネルギー準位の高低を決めているものは電子と考えることができる。電子が半径の一番小さい軌道を回っている状態を基底状態という。量子数 $n$ が大きくなり、電子が半径の大きい軌道を回るようになると、励起状態となる。さらに、イオン化エネルギー以上のエネルギーを電子が受け取ると、電子が原子から飛び出し、イオン化状態となる。