粒子のシュレーディンガーの波動方程式の導出

物質の波動を記述する波動方程式がシュレーディンガー方程式 (シュレディンガー方程式)である。

量子力学的な粒子の波動方程式としてのシュレーディンガー方程式を導出する。

まず、波動は場所 $x$ と時間 $t$ の関数 $\Psi(x, t)$ で表されるとする。

ここで、波数 $k$ で角振動数 $\omega$ の単純な正弦波を考える。

$\Psi(x, t)$ を複素数、 $A$ を振幅として、正弦波を複素数表示すると、次のように表すことができる。

$\Psi(x, t) = A \exp(i (kx - \omega t))$

上の式の両辺を $t$ で微分すると、次のようになる。

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial t} \Psi(x, t) = -i \omega \Psi(x, t)$

ここで、振動数 $\nu$ の電磁波のエネルギー $E$ は次のように量子化されるというプランクの量子仮説を考える。

$E = h \nu = \hbar \omega$

この関係式を物質波にも適用できると考えると、 $\frac{\partial }{\partial t} \Psi(x, t) = -i \omega \Psi(x, t)$ の式は次のようになる。

$\displaystyle i \hbar \frac{\partial }{\partial t} \Psi(x, t) = \hbar \omega \Psi(x, t) = E \Psi(x, t)$

また、 $\Psi(x, t) = A \exp(i (kx - \omega t))$ を $x$ で二階微分すると、次のようになる。

$\displaystyle \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \Psi(x, t) = -k^2 \Psi(x, t)$

また、粒子として見たときの運動量ベクトルを $p$ 、波として見たときの波数ベクトルを $k$ 、換算プランク定数を $\hbar$ としたとき、 $p = \hbar k$ となる関係より、質量を $m$ とすると、運動エネルギーは次のように表される。

$\displaystyle E = \frac{p^2}{2 m} = \frac{\hbar ^2 k ^2}{2m}$

上の2つの式より、次の式が得られる。

$\displaystyle E \Psi(x, t) = \frac{\hbar ^2 }{2 m} k ^2 \Psi(x, t) = - \frac{\hbar ^2 }{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \Psi(x, t)$

上の式と、 $\displaystyle i \hbar \frac{\partial }{\partial t} \Psi(x, t) = \hbar \omega \Psi(x, t) = E \Psi(x, t)$ の式より次の式が得られる。

$\displaystyle i \hbar \frac{\partial }{\partial t} \Psi(x, t) = - \frac{\hbar ^2 }{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \Psi(x, t)$

これが量子力学的な粒子の波動方程式としてのシュレーディンガー方程式である。

上の式を3次元に拡張する場合には、 $r$ を空間座標とすると、 $x \rightarrow r$ 、 $\frac{\partial ^2}{\partial x^2} \rightarrow \nabla ^2$ と置き換える。よって3次元の自由粒子のシュレーディンガー方程式は次のようになる。