化学徒の備忘録(かがろく)|化学系ブログ

理系の筆者が化学系の用語や論文、動画、ノウハウなどを紹介する化学ブログ

電子のスピン磁気モーメントとゼーマン効果

固体物理化学用語解説

電子のスピン

電子はスピン(自転運動)をしていることによって、磁性が現れる。ここでは、この磁性について考えていく。

電子は自転に対応するスピン角運動量 $\hbar \textbf{s}$ をもつ。ここで $\hbar$ はプランク定数 $h$ を $2\pi$ で割った量である。 $\textbf{s}$ は大きさ $s = \frac{1}{2}$ の無次元の角運動量演算子でスピンと呼ばれる。

スピン $\textbf{s}$ は $x, y, z$ 成分が

$\sigma ^x = \begin{pmatrix} 0 \quad 1 \\ 1 \quad 0 \\ \end{pmatrix}$

$\sigma ^y = \begin{pmatrix} 0 \quad -i \\i \quad 0 \\ \end{pmatrix}$

$\sigma ^z = \begin{pmatrix}1 \quad 0 \\ 0 \quad -1 \\ \end{pmatrix}$

で定義されるパウリのスピン演算子 $\bf{ \sigma }$ を用いて、次のように表される。

$\textbf{s} = \frac{1}{2} \bf {\sigma}$

電子スピンの大きさ $s$ が整数ではなく $\frac{1}{2}$ であることは、ゼーマン効果の観測、シュテルンゲルラッハの実験、電子がフェルミ統計に従うことによって証明されている。

スピン磁気モーメント

電荷をもつ粒子が自転をすると、自転軸のまわりに小さな円電流が生じる。そのため、粒子は磁気モーメントをもち、小さな磁石として振る舞う。これは電子にも当てはまる。

そのため電子は以下の式のようなスピン磁気モーメント $\mu _s$ をもつ。

$\mu _s = -g \mu _B \textbf{s}$

上の式の右辺の符号が負であるのは、電子が負電荷 $-e$ をもつためである。

ここで、 $\mu _B$ はボーア磁子といわれ、次の式で表される。

$\mu _B = \frac{e \hbar}{2mc} = 9.2740154 \times 10^{-21} (\rm {erg/G})$

上の式の $m$ は電子の質量、 $c$ は光の速さ、 $e$ は電気素量である。

スピン磁気モーメントの式の $g$ はg因子といわれる。磁場以外になにも影響を受けていない自由な電子の場合、 $g$ はつぎのように表される。

$g= 2+ \frac{ \alpha }{ \pi} -0.328 ( \frac{ \alpha}{ \pi} ) ^2 = 2.00231930$

ｇ因子が1と異なり、ほぼ2になるのは、相対論効果によるものである。g因子を与える上の式の右辺の第1項の2は電子の相対論的量子力学を記述するディラック方程式の1/c展開から導かれる。第2項以上は高次の補正を表す。

$\alpha$ は微細構造定数といわれる無次元量であり、次のように表される。

$\alpha = \frac{e^2}{ \hbar c } = 7.29735308 \times 10^{-3}$

一般的に磁性では顕著な相対論効果が現れる例は少ないが、電子のg因子とスピン軌道相互作用には、顕著な相対論効果が現れる。

電子を外部磁場 $H$ の中におくと、スピン磁気モーメントと外部磁場との相互作用は次のように表される。

$\mathcal{H}_s = - \mu_s \cdot H = g \mu _B s \cdot H$

エネルギーはスピンの磁場方向成分(z成分)の値 $m_s = \pm \frac{1}{2}$ に対応して以下のように2つに分裂する。

$E_s ^{ \pm} = \pm \frac{1}{2} g \mu _B H$

このとき、分裂した2つのエネルギーの差は $g \mu _B H$ になる。この $m_s$ に対応した磁場中でのエネルギーの分裂を、スピンによるゼーマン効果という。