化学徒の備忘録

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放射壊変の壊変法則について

放射壊変の壊変法則

放射性核種Aが放射壊変を起こし、Aより安定な核種Bに変化する場合を考える。

このとき放射性核種Aを親核種(parent nuclide)、安定な核種Bを娘核種(daughter nuclide)という。放射性核種の壊変は自発的に起こる。

このとき、壊変定数:\lambdaと呼ばれる核種に固有の値と壊変によって放射性核種の個数が半分になるために必要な時間である半減期:T_{1/2}の間には次の関係が成り立つ。

T_{1/2} = \frac{\rm ln2}{\lambda}

上の関係が成り立つことは次のように示すことができる。

ここで放射性核種Aの個数をNとする。このとき壊変によって放射性核種Aが減少する速度は\frac{-dN}{dt}と表すことができる。またこの速度はAの個数Nに比例する。よって、次の関係が成り立つ。

 \frac{-dN}{dt} = \lambda N

ここで\lambdaは壊変定数と呼ばれる核種に固有の値であり、時間の-1乗の次元である。

次に上の式を積分すると下の関係が得られる。

 N = N_0 e^{-\lambda t}

 ここで N_0は時刻 t = 0のときの放射性核種Aの個数を表す。ここで半減期に到達したときを考える。半減期では、放射性核種の個数は N_0の半分であるため、\frac{N_0}{2}となる。また半減期をT_{1/2}とするとき、t = T_{1/2}となる。

よって N = N_0 e^{-\lambda t}の式は次のように表すことができる。

 \frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}

この式をT_{1/2}が左辺に来るように変形すると、次の関係が成り立つ。

T_{1/2} = \frac{\rm ln2}{\lambda}

この式からも、壊変定数:\lambdaが時間の-1乗の次元であることがわかる。

分岐壊変が起こる場合について

一つの核種が二つ以上の核種へ分岐して壊変することがある。こういった壊変を分岐壊変(branching decay)という。

例として40Kを考える。40KはEC壊変により40Arへ変化し、\beta^-壊変により40Caへと分岐して壊変する。この場合\lambdaを全壊変定数、\lambda_{EC}をEC壊変の壊変定数、\lambda_{\beta^-}\beta^-壊変の壊変定数とする。また、\lambda_{EC}\lambda_{\beta^-}を部分壊変定数と呼ぶ。このとき、次の関係が成り立つ。

\lambda =\lambda_{EC} + \lambda_{\beta^-}

全壊変定数とそれぞれの壊変を起こす確率が分かっている場合は、それをもとにして、それぞれの部分壊変定数の値を求めることができる。

40Kの場合、EC壊変を起こす確率は10.7%であり、\beta^-壊変を起こす確率は89.3%である。壊変を起こす確率は壊変速度に比例する。よって、壊変速度の比は、壊変定数の比と同じとなる。よって次の関係が成り立つ。

\lambda_{EC} : \lambda_{\beta^-} = 10.7 : 89.3

この比率のことを分岐比という。この分岐比を利用することで、全壊変定数から、それぞれの部分壊変定数を求めることができる。