化学徒の備忘録

化学系の用語や論文をわかりやすく紹介していきます

ミラー指数・面指数(面を示すミラー指数・4つの整数のミラー指数と方位を示すミラー指数)

ミラー指数

結晶の性質は結晶の方位や面によって異なることがある。そのため、結晶の方位や面について議論をすることも多い。このときに、結晶の方位や面を指定するために、ミラー指数というものが用いられる。このミラー指数は鉱物学者のW・H・ミラーが結晶面を表す記号として採用したものである。

面を示すミラー指数

結晶中の座標軸を、互いに独立な3つのベクトルa_1, a_2, a_3で表す。

また、結晶中の面がそれぞれのベクトルのu倍、v倍、w倍の位置で座標軸と交わると考える。もし座標軸と交わらない場合は、u, v, wのいずれかは\inftyとなっている。

ここで、\left( \frac{1}{u}, \frac{1}{v}, \frac{1}{w} \right) のそれぞれを整数倍し、その整数を共に割り切る正の整数が1のみである(互いに素である)整数の組(h k l)を求める。

こうして求められる整数の組は、ある面に対してただ一つとなる。

この整数の組をミラー指数もしくは面指数という。また、面を示すミラー指数は3つの数字を丸かっこで囲んで表し、数字の間には","などは入れずに表記する。

ミラー指数の整数が負の数である場合は、その指数の上にバー (ー) をつけて ( 0 \overline{1} 0 ) (ゼロ イチ バー ゼロと読む) のように表記することが一般的である。

また、ベクトルa_1, a_2, a_3は基本並進ベクトルである必要はない。

結晶の構造の対称性から同等な結晶面全体を表す場合のミラー指数は{h k l}のように、数字を波括弧で囲んで表す。

 4つの整数の組のミラー指数(三方晶・六方晶)

三方晶や六方晶は、ある軸を中心として120° 回転させると同一の結晶構造となる。こういった結晶では、慣用的に4つの整数の組のミラー指数が使われる。

ベクトルcを回転軸に平行な座標軸とする。回転軸と直交し、ぞれぞれが角度120° をなすような座標軸をa_1, a_2, a_3とする。そして、a_1, a_2, a_3, cで表される座標軸と結晶中の面がどの位置で交わるかを考える。

ここで、結晶中の面がそれぞれのベクトルのu倍、v倍、w倍、x倍の位置で交わると考える。

ここで、\left( \frac{1}{u}, \frac{1}{v}, \frac{1}{w}, \frac{1}{x} \right) のそれぞれを整数倍し、その整数を共に割り切る正の整数が1のみである(互いに素である)整数の組(h k l m)を求める。

こうして求められる4つの整数の組は、ある面に対してただ一つとなる。

この整数の組をミラー指数とする。

ただし、面を指定するためには3つの整数の組で充分であるため、4つの整数の組は必ずしも必要ではない。また、この4つの整数の組(h k l m)のうち、h k lにはh + k + l = 0の関係が成り立つため、h k lの3つの整数のうち2つが求まると、あと1つを求めることができる。

方位を示すミラー指数

結晶中の座標軸を、互いに独立な3つのベクトルa_1, a_2, a_3で表す。

ある方位を表すベクトルAa_1, a_2, a_3と整数の組h, k, lを用いて次のように表されるとする。

A = ha_1 + ka_2 + la_3

このとき、[h k l]が方位を示すミラー指数である。方位を示すミラー指数の場合は3つの数字を角括弧で囲んで表し、面を示すミラー指数と同様に数字の間には","などは入れずに表記する。

また、結晶の構造の対称性等から等価な方位を表す場合のミラー指数は\langle h k l \rangleのように、数字を山括弧で囲んで表す。