化学徒の備忘録

化学系の用語や論文をわかりやすく紹介していきます

X線回折・ブラッグ反射とブラッグの条件

X線回折・ブラッグ反射

X線が原子に当たるとX線は散乱される。そのため、多くの原子の集団にX線を入射すると、それぞれの原子によるX線の散乱が起きる。

このとき、散乱されたX線は、X線の波としての性質により干渉が起こり、X線の強度の強め合いや打ち消し合いが起こる。そのため、散乱されたX線の強度は干渉によって、各原子の散乱強度の単純な足し合わせにはならない。

特に結晶のように原子がX線の波長程度の間隔で周期的に配置されているものにX線が入射されたとき、X線の干渉の影響が顕著に現れ、これをブラッグ (Bragg) 反射やX線が結晶の影に回り込むことからX線回折という。そしてX線回折やブラッグ反射が起きる条件をブラッグの条件という。

ブラッグの条件

結晶では、原子は3次元に配列していますが、ここではX線回折を考えるうえでそのうち1方向について考える。ここで、一つの面内に原子が存在している面を格子面とする。結晶はこの格子面が等間隔で配列しているものと考えることができる。

この格子面にX線が入射し、X線が鏡のように格子面で反射する場合を考える。

X線が格子面に角度 (視射角) \thetaで入射すると、同じ角度\thetaで反射される。

ここで、ある格子面で反射されるX線と、そのすぐ下の格子面で反射されるX線の光路差を考える。ここで、格子面の間隔をdとすると、入射するX線の光路差はd \sin \theta、同様に反射する光の光路差もd \sin \thetaとなり、光路差は2d \sin \thetaとなる。

この光路差2d \sin \thetaがX線の波長\lambdaの整数倍(n倍)に等しい場合、ある格子面で反射されるX線と、そのすぐ下の格子面で反射されるX線の位相が一致するため、2つのX線が強め合うことになる。

このX線が強めあい、X線回折が起こる条件をブラッグ (Bragg) の条件 (ブラッグの法則) といい、式で表すと次のようになる。

2d \sin \theta = n \lambda

この式のことをブラッグの式という。

f:id:syerox:20191115173209j:plain

 

逆に、X線の波長や入射する角度が変わると、各格子面からの反射波の位相が異なるため、それらのX線同士が打ち消し合い、X線回折は起こらなくなる。

ブラッグの条件の欠点と他の表記方法

ブラッグの条件は感覚的に理解しやすい条件である。しかし、2d \sin \theta = n \lambda の式はスカラー表記であり、方向の情報が含まれていない。

また、回折の条件を逆格子空間で表した方が便利である場合も多い。

そこで逆格子空間における回折条件の表し方として、ラウエ (Laue) の回折条件やエバルド (Ewald) の作図がある。

ラウエの回折条件は入射X線の波数ベクトルをk_0、回折X線の波数ベクトルをk、逆格子ベクトルをgとすると、次のように表される。

k - k_0 = g

また、エバルドの作図ではエバルド球が (hkl) 面の逆格子ベクトルを切るとき、(hkl)面がブラッグ条件を満たす。そのため、エバルド球で切られた逆格子点が回折図形となる。