フェルミディラック分布関数(Fermi-Dirac分布関数)の導出

フェルミディラック分布関数の導出

フェルミディラック分布関数 (Fermi-Dirac分布関数) を導出する。

とり得るエネルギーはであるとする。

各エネルギー準位に個の縮退した状態があり、そこに個の粒子が配置されるとする。ただし、とする。

そこでエネルギー準位の個に縮退した状態に、個の粒子を配置する場合の数を考えると次のようになる。

\begin{align} W_1 =_{g_1}\mathrm{C}_{n_1} \end{align}

よって、個の粒子全てを各エネルギー準位に分配する場合の数は、次のようになる。

\begin{align} 
\displaystyle W &= \prod_{i} W_i
\\ &= \prod_{i} \ _{g_i}\mathrm{C}_{n_i}
\\ &= \prod_{i} \frac{g_i!}{n_i!(g_i-n_i)!}  \tag{1}
\end{align}

ここで系のエントロピーに関するエネルギーを最大にする各に対するの関係式を求めれば、それがFermi-Dirac分布関数となる。

式(1)の両辺の対数をとり、スターリングの公式を用いてまとめると次のようになる。
\begin{align} \displaystyle \ln W &= \ln \left (\prod_{i} \frac{g_i!}{n_i!(g_i-n_i)!}  \right )
\\ \displaystyle &= \sum_{i} \frac{g_i!}{n_i!(g_i-n_i)!}
\\ \displaystyle &= \sum_{i} (g_i \ln g_i - n_i \ln n_i - (g_i - n_i)\ln(g_i - n_i))
\\ \displaystyle &=\sum_{i} W_i \ln W_i
\end{align}

 ラグランジュの未定乗数法を用いてを最大にするに対するを求める。

、とすると次のようになる。

\begin{align} \\ \Psi &= k_B T \ln W - \alpha N - \beta E \tag{2}\\ \displaystyle &= k_B T \sum_{i} W_i \ln W_i - \alpha \sum_{i} n_i - \beta \sum_{i} n_i \epsilon_i \\ \end{align}

ここで、

\begin{align} \displaystyle \Psi = \sum_{i} \psi_i \end{align}

として各に対して、を最大にすると未定な乗数との関係を求めると次のようになる。

 \begin{align} \displaystyle \frac{\partial \psi_i}{\partial n_i} = k_B T (-\ln n_i + \ln (g_i-n_i))-\alpha - \beta \epsilon_i = 0 \end{align}

 よって次の関係が得られる。

\begin{align} \displaystyle \frac{n_i}{g_i} = \frac{1}{\exp(\frac{\alpha + \beta \epsilon_i}{k_B T})+1} \end{align}

ここで、(2)式の全微分よりである。

またエネルギーの基準はどこでとってもいいため、とする。そして離散的なを連続変数にして分布関数とすると次の関係が得られる。

\begin{align}
\displaystyle f(\epsilon) = \frac{1}{\exp (\frac{\epsilon - \mu}{k_B T})+1}
\end{align}