化学徒の備忘録

化学系の用語や論文をわかりやすく紹介していきます

面心立方格子 (fcc) の逆格子点の導出

面心立方格子 (fcc) の基本並進ベクトル

x, y, z方向の大きさが1の単位ベクトルをe_x, e_y, e_zとする。

面心立方格子の格子の1辺の長さをaとすると、基本並進ベクトルは次のように表される。

\displaystyle a_1 = \frac{a}{2}(e_y + e_z)

\displaystyle a_2 = \frac{a}{2}(e_z + e_x)

\displaystyle a_3 = \frac{a}{2}(e_x + e_y)

よって、外積を計算すると、次のようになる。

\displaystyle a_2 \times a_3 = \frac{a^2}{4}(e_z + e_x) \times (e_x + e_y)

\displaystyle                         = \frac{a^2}{4}(e_y+e_z-e_x)

また、体積を計算すると、次のようになる。

\displaystyle a_1 \cdot (a_2 \times a_3) = \frac{a^3}{8}(e_y + e_z) \cdot  (e_y+e_z-e_x)

\displaystyle = \frac{a^3}{4}

面心立方格子の逆格子の基本並進ベクトル

逆格子の基本ベクトルは次のように表される。

\displaystyle b_1 = \frac{2 \pi}{a}(e_y + e_z - e_x)

\displaystyle b_2 = \frac{2 \pi}{a}(e_z + e_x - e_y)

\displaystyle b_3 = \frac{2 \pi}{a}(e_x + e_y - e_z)

面心立方格子の逆格子点

m_1, m_2, m_3を任意の整数とすると、面心立方格子の逆格子点は次のように求められる。

G_m = m_1 b_1 + m_2 b_2 + m_3 b_3

\displaystyle = \frac{2 \pi}{a} m_1(e_y + e_z - e_x) +  \frac{2 \pi}{a} m_2 (e_z + e_x - e_y) + \frac{2 \pi}{a} m_3 (e_x + e_y - e_z)

これは、体心立方格子の基本並進ベクトルと見比べることで、辺の長さが\frac{4 \pi}{a}の立方体を慣用単位胞とする体心立方格子の格子点と等しいことがわかる。