化学徒の備忘録(かがろく)|化学系ブログ

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単純立方格子 (sc) の逆格子点の導出

固体物理化学

単純立方格子 (sc) の基本並進ベクトル

$x, y, z$ 方向の大きさが1の単位ベクトルを $e_x, e_y, e_z$ とする。

単純立方格子の格子の1辺の長さを $a$ とすると、基本並進ベクトルは次のように表される。

$\displaystyle a_1 = a e_x$

$\displaystyle a_2 = a e_y$

$\displaystyle a_3 = a e_z$

よって、外積を計算すると、次のようになる。

$\displaystyle a_2 \times a_3 = a^2 e_y \times e_z = a^2 e_x$

また、体積を計算すると、次のようになる。

$\displaystyle a_1 \cdot (a_2 \times a_3) = a^3 e_x \cdot e_x = a^3$

単純立方格子の逆格子の基本並進ベクトル

逆格子の基本ベクトルは次のように表される。

$\displaystyle b_1 = \frac{2 \pi}{a} e_x$

$\displaystyle b_2 = \frac{2 \pi}{a} e_y$

$\displaystyle b_3 = \frac{2 \pi}{a} e_z$

単純立方格子の逆格子点

$m_1, m_2, m_3$ を任意の整数とすると、単純立方格子の逆格子点は次のように求められる。

$G_m = m_1 b_1 + m_2 b_2 + m_3 b_3$

$\displaystyle = \frac{2 \pi}{a} m_1 e_x + \frac{2 \pi}{a} m_2 e_y + \frac{2 \pi}{a} m_3 e_z$

これは、1辺の長さが $\frac{2 \pi}{a}$ の立方体を単位胞とする単純立方格子の格子点と等しいことがわかる。