化学徒の備忘録

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面間隔と単位格子の体積の計算式

面間隔

指数(hkl)の隣り合った面間の距離dは次の関係で求めることができる。ただし、格子定数abc \alpha \beta \gamma 、単位格子の体積をVとする。

立方晶: \displaystyle \frac{1}{d^2} = \frac{h^2 + k^2 + l^2}{a^2}

正方晶: \displaystyle  \frac{1}{d^2} = \frac{h^2 + k^2}{a^2} + \frac{l^2}{c^2}

斜方晶: \displaystyle \frac{ 1}{d^2} = \frac{h^2}{a^2} + \frac{k^2}{b^2} + \frac{l^2}{c^2}

六方晶: \displaystyle \frac{1}{d^2} = \frac{4}{3} \left( \frac{h^2 + hk + k^2}{a^2}  \right) + \frac{l^2}{c^2}

 単斜晶: \displaystyle \frac{1}{d^2} = \frac{1}{\sin ^2 \beta } \left( \frac{h^2}{a^2} + \frac{k^2 \sin ^2 \beta }{b^2} + \frac{l^2}{c^2} - \frac{2hl \cos \beta}{ac} \right)

三斜晶: \displaystyle \frac{1}{d^2} = \frac{1}{V^2} \{ h^2b^2c^2 \sin^2 \alpha \\ + k^2a^2c^2 \sin^2 \beta +l^2a^2b^2 \sin^2 \gamma + 2hkabc^2 ( \cos \alpha \cos \beta - \cos \gamma ) \\ + 2kla^2bc (\cos \beta \cos \gamma - \cos \alpha + 2hlab^2 c (\cos \alpha \cos \gamma - \cos \beta   \}

単位格子の体積

また、単位格子の体積は次の式で求められる。

立方晶: V = a^3

正方晶: V = a^2 c

斜方晶: V = abc

六方晶: \displaystyle V = \frac{ \sqrt{3} a^2 c}{2} = 0.866 a^2 c

単斜晶: V = abc \sin \beta

三斜晶: V = abc ( 1 - \cos ^2 \alpha - \cos ^2 \beta - \cos ^2 \gamma + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ) ^{\frac{1}{2}}