波動関数と期待値・固有値・固有関数・固有方程式 - 化学徒の備忘録(かがろく)|化学系ブログ

波動関数 $\Psi$ が規格化されている場合、次のように波動関数の二乗を全空間において積分したものは1となる。

$\displaystyle \int^\infty_\infty | \Psi ^2 | d \tau = 1$

このとき、 $\Psi ^*$ を $\Psi$ の複素共役とすると、演算子 $\omicron$ の期待値 $\langle \omicron \rangle$ は次のように求めることができる。

$\langle \omicron \rangle = \displaystyle \int^\infty_\infty \Psi ^* \omicron \Psi d \tau = 1$

演算子 $\omicron$ を波動関数 $\Psi$ に作用させた結果が $\Psi$ に比例し次の式が成り立つ場合、 $\omega$ を $\omicron$ の固有値といい、 $\Psi$ を $\omicron$ の固有関数という。

$\omicron \Psi = \omega \Psi$

また、上の式は固有方程式といわれる。
波動関数 $\Psi$ が演算子 $\omicron$ の固有関数であるとき、期待値 $\langle \omicron \rangle$ は固有値 $\omega$ と等しい。