原子散乱因子の位相差 - 化学徒の備忘録(かがろく)|化学系ブログ

原子散乱因子

原子にX線を照射すると、X線の散乱が生じる。特にX線の波長 (エネルギー) が散乱によって変化しない散乱は弾性散乱といわれる。そして、この散乱されたX線の強度は原子散乱因子 $f(s)$ に比例する。

まず原子に照射するX線の波数ベクトルを $k_0$ とする。波数ベクトルとはX線の進行方向を向き、大きさが波長の逆数のベクトルである。

そして弾性散乱によって、散乱するX線の波数ベクトルを $k_s$ とする。

弾性散乱はX線の波長は変化しないため、X線の波長を $\lambda$ とすると、波数ベクトルの大きさは次の関係が成り立つ。

$\displaystyle |k_0| = |k_s| = \frac{1}{\lambda}$

次に、原子の中心 (原子核) Oから $r$ だけ離れた位置Rに位置する電子によってX線が散乱されるとする。

このとき、原子の中心Oで散乱されるX線と比べて、位置Rで散乱されるX線は、行路差が生じる。Rを通る照射されたX線から垂直に線をひいたときのOとの交点をP、Oで散乱されたX線から垂直に線をひいたときのRとの交点をQとする。

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このとき、原子の中心Oで散乱されたX線と位置Rで散乱されたX線の行路差は $\rm{OQ-PR}$ となる。ここでORPのなす角を $\theta$ 、ROQのなす角を $\theta _0$ とする。

このときOQ、PRの長さの間には次の関係が成り立つ。

$\rm{OQ} = \rm{OR} \cos \theta _0$

$\rm{PR} = \rm{OR} \cos \theta$

よって行路差OQ-PRは次のように表される。

$\rm{OQ-PR} = \rm{OR} (\cos \theta _0 - \cos \theta) = |r| (\cos \theta _0 - \cos \theta)$

また、原子の中心Oで散乱されたX線と位置Rで散乱されたX線の位相差は、行路差を波長 $\lambda$ で割り $2\pi$ 倍することで得られるため、位相差は $\frac{2 \pi}{\lambda}|r| (\cos \theta _0 - \cos \theta)$ となる。

ここでベクトルの内積について次の関係が成り立つ。

$k_0・r =|k_0| |r| \cos \theta _0$

$k_s・r =|k_s| |r| \cos \theta$

そのため位相差は次のようになる。

$\displaystyle \frac{2 \pi}{\lambda}|r| (\cos \theta _0 - \cos \theta) = \frac{2 \pi}{\lambda} \left( \frac{k_0・r}{|k_0|} - \frac{k_s・r}{|k_s|} \right)$

$\displaystyle = \frac{2 \pi}{\lambda} \left( \frac{k_0・r}{\frac{1}{\lambda}} - \frac{k_s・r}{\frac{1}{\lambda}} \right) = 2 \pi (k_0 -k_s)・r$

ここで散乱ベクトル $s$ は入射するX線の波数ベクトルを $k_0$ 、散乱するX線の波数ベクトルを $k_s$ に対して、次のように定義する。

$s = k_s - k_0$

散乱ベクトル $s$ を用いると、位相差は $2 \pi -s・r$ となる。

原子の電子分布を球対称と考え、静止状態の原子中の位置 $r$ における電子密度を $\rho_0(r)$ とすると、電子密度をフーリエ変換することによって原子散乱因子 $f(s)$ が次のように得られる。

$f(s) = \int \rho_0(r) \exp (-i s・r ) dv$