化学徒の備忘録

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ボイル・シャルルの法則と導出の解説

ボイル・シャルルの法則とは

ボイルの法則シャルルの法則(ゲイリュサックの法則)を組み合わせた法則のことをボイル・シャルルの法則という。

気体の体積は圧力に反比例し、絶対温度に比例するという法則である。

圧力をp、体積をV、絶対温度をTとすると、次のように表される。

 \displaystyle \frac{pV}{T} = (一定)

ボイル・シャルルの法則は実在の気体では、圧力が低く温度が高い場合に成り立つ。厳密には理想気体で成り立つ。

物理的なボイル・シャルルの法則の導出

(I) 圧力p_0、体積T_0、温度T_0の1つの熱力学的な系を考える。

これを温度をT_0のまま、圧力をp_1、体積をV'に変化させる。

このときボイルの法則pV = (一定)より次の関係が成り立つ。

p_0 V_0 = p_1 V'

(II) 次に圧力p_1、体積V'、温度T_0の熱力学的な系を、圧力をp_1のまま、体積をV_1、温度をT_1に変化させる。

このときシャルルの法則\frac{V}{T} = (一定) より次の関係が成り立つ。

 \displaystyle \frac{V'}{T_0} = \frac{V_1}{T_1}

上の式を変形すると次のようになる。

 \displaystyle V' = T_0 \frac{V_1}{T_1}

これを(I)で得られた式に代入する。

 \displaystyle p_0 V_0 = p_1 T_0 \frac{V_1}{T_1}

整理すると次の関係が得られる。

 \displaystyle \frac{p_0 V_0}{T_0} = \frac{p_1 V_1}{T_1}

よって、ボイル・シャルルの法則 \displaystyle \frac{pV}{T} = (一定)が導ける。

数学的なボイル・シャルルの法則の導出

ボイルの法則は温度Tが一定のとき、pV = (一定)が成り立つ。

そのため、ボイルの法則の右辺は温度Tによる関数f(T)である。

pV = f(T) (f(T) \gt 0)

シャルルの法則は圧力pが一定のとき、\frac{V}{T} = (一定)が成り立つ。

そのためシャルルの法則の右辺は圧力pによる関数g(p)である。

\frac{V}{T} = g(p) (g(p) \gt 0)  

ここで、g(p)を1対1対応の関数とすると逆関数が存在する。そのため次のように表すことができる。

 \displaystyle g^{-1} \left ( \frac{V}{T} \right ) = p

ボイルの法則より得られたpV = f(T) (f(T) \gt 0) を変形すると、p =\frac{ f(T)}{V} (V \gt 0) となるため、これを上の式に代入すると次の関係が得られる。

 \displaystyle g^{-1} \left ( \frac{V}{T} \right ) = \frac{ f(T)}{V}

ここで、 \displaystyle g^{-1} \left ( \frac{V}{T} \right ) = h \left ( \frac{V}{T} \right )とおくと次のように表すことができる。

 \displaystyle h \left ( \frac{V}{T} \right ) = \frac{ f(T)}{V}

\frac{V}{T} = xとおくと、f(T) = \lambda T(\lambdaは定数)の場合のみ、h(x)h(x) = \frac{\lambda}{x} となって、 x \left ( = \frac{V}{T} \right ) の関数となる。

よって、 \displaystyle h \left ( \frac{V}{T} \right ) = \frac{ f(T)}{V} を満たすf(T)f(T) = \lambda T のみである。

f(T) = \lambda TpV = f(T)を代入すると次のようになる。

pV = \lambda T

ここで。T \gt 0より、両辺をTで割ると次の関係が得られる。

\frac{pV}{T} = \lambda

よって、ボイル・シャルルの法則 \displaystyle \frac{pV}{T} = (一定)が導出できる。