化学徒の備忘録(かがろく)|化学系ブログ

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ボイル・シャルルの法則と導出の解説

物理化学用語解説

ボイル・シャルルの法則とは

ボイルの法則とシャルルの法則(ゲイリュサックの法則)を組み合わせた法則のことをボイル・シャルルの法則という。ボイルシャルルの法則と表記する場合もある。

気体の体積は圧力に反比例し、絶対温度に比例するという法則である。

圧力を $p$ 、体積を $V$ 、絶対温度を $T$ とすると、次のように表される。

$\displaystyle \frac{pV}{T} =$ (一定)

ボイル・シャルルの法則は実在の気体では、圧力が低く温度が高い場合に成り立つ。厳密には理想気体で成り立つ。

物理的なボイル・シャルルの法則の導出

(I) 圧力 $p_0$ 、体積 $T_0$ 、温度 $T_0$ の1つの熱力学的な系を考える。

これを温度を $T_0$ のまま、圧力を $p_1$ 、体積を $V'$ に変化させる。

このときボイルの法則 $pV =$ (一定)より次の関係が成り立つ。

$p_0 V_0 = p_1 V'$

(II) 次に圧力 $p_1$ 、体積 $V'$ 、温度 $T_0$ の熱力学的な系を、圧力を $p_1$ のまま、体積を $V_1$ 、温度を $T_1$ に変化させる。

このときシャルルの法則 $\frac{V}{T} =$ (一定) より次の関係が成り立つ。

$\displaystyle \frac{V'}{T_0} = \frac{V_1}{T_1}$

上の式を変形すると次のようになる。

$\displaystyle V' = T_0 \frac{V_1}{T_1}$

これを(I)で得られた式に代入する。

$\displaystyle p_0 V_0 = p_1 T_0 \frac{V_1}{T_1}$

整理すると次の関係が得られる。

$\displaystyle \frac{p_0 V_0}{T_0} = \frac{p_1 V_1}{T_1}$

よって、ボイル・シャルルの法則 $\displaystyle \frac{pV}{T} =$ (一定)が導ける。

数学的なボイル・シャルルの法則の導出

ボイルの法則は温度 $T$ が一定のとき、 $pV =$ (一定)が成り立つ。

そのため、ボイルの法則の右辺は温度 $T$ による関数 $f(T)$ である。

$pV = f(T) (f(T) \gt 0)$

シャルルの法則は圧力 $p$ が一定のとき、 $\frac{V}{T} =$ (一定)が成り立つ。

そのためシャルルの法則の右辺は圧力 $p$ による関数 $g(p)$ である。

$\frac{V}{T} = g(p) (g(p) \gt 0)$

ここで、 $g(p)$ を1対1対応の関数とすると逆関数が存在する。そのため次のように表すことができる。

$\displaystyle g^{-1} \left ( \frac{V}{T} \right ) = p$

ボイルの法則より得られた $pV = f(T) (f(T) \gt 0)$ を変形すると、 $p =\frac{ f(T)}{V} (V \gt 0)$ となるため、これを上の式に代入すると次の関係が得られる。

$\displaystyle g^{-1} \left ( \frac{V}{T} \right ) = \frac{ f(T)}{V}$

ここで、 $\displaystyle g^{-1} \left ( \frac{V}{T} \right ) = h \left ( \frac{V}{T} \right )$ とおくと次のように表すことができる。

$\displaystyle h \left ( \frac{V}{T} \right ) = \frac{ f(T)}{V}$

$\frac{V}{T} = x$ とおくと、 $f(T) = \lambda T$ ( $\lambda$ は定数)の場合のみ、 $h(x)$ は $h(x) = \frac{\lambda}{x}$ となって、 $x \left ( = \frac{V}{T} \right )$ の関数となる。

よって、 $\displaystyle h \left ( \frac{V}{T} \right ) = \frac{ f(T)}{V}$ を満たす $f(T)$ は $f(T) = \lambda T$ のみである。

$f(T) = \lambda T$ に $pV = f(T)$ を代入すると次のようになる。

$pV = \lambda T$

ここで。 $T \gt 0$ より、両辺を $T$ で割ると次の関係が得られる。

$\frac{pV}{T} = \lambda$

よって、ボイル・シャルルの法則 $\displaystyle \frac{pV}{T} =$ (一定)が導出できる。