化学徒の備忘録(かがろく)|化学系ブログ

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ロンドン方程式の古典電磁気学からの導出

固体物理化学用語解説

ロンドン方程式の古典電磁気学からの導出

ロンドン方程式を古典電磁気学から導出する。

電気抵抗をもつ普通の導体では、電場 $E$ を印加した場合の電流密度 $j$ は電気抵抗を $\sigma$ とすると次のようになる。

$j = \sigma E$

超伝導体の場合、電気抵抗は0であるため、電気素量を $e$ 、電子の質量を $m$ 、電子の位置座標を $r$ とすると、次に示す自由荷電粒子の従うニュートンの運動方程式を満たすと考える。

$- e E = m r$

電流密度 $j$ は電子密度を $n$ とすると次のように表すことができる。

$j = - n e r$

また、光速を $c$ 、マクスウェル方程式より電場はベクトルポテンシャル $A$ を用いて次のように表すことができる。

$\displaystyle E = - \frac{\frac{1}{c}}{\frac{ \partial A }{\partial t}}$

よって次の関係が成り立つ。

$\displaystyle \frac{dj}{dt} = -\frac{ne^2}{mc} \frac{ \partial A }{\partial t}$

これを積分定数を0として積分すると、次の関係が導かれる。

$\displaystyle j = -\frac{ne^2}{mc} A$

これがロンドン方程式である。ただし、この式は電子2個からなるクーパー対について成り立つため、正しくは電荷を $e$ から $2e$ に置き換える必要がある。