化学徒の備忘録

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ロンドン方程式の古典電磁気学からの導出

ロンドン方程式の古典電磁気学からの導出

ロンドン方程式を古典電磁気学から導出する。

電気抵抗をもつ普通の導体では、電場Eを印加した場合の電流密度jは電気抵抗を \sigmaとすると次のようになる。

j = \sigma E

超伝導体の場合、電気抵抗は0であるため、電気素量をe、電子の質量をm、電子の位置座標をrとすると、次に示す自由荷電粒子の従うニュートンの運動方程式を満たすと考える。

 - e E = m r

電流密度jは電子密度をnとすると次のように表すことができる。

j = - n e r

また、光速をc、マクスウェル方程式より電場はベクトルポテンシャルAを用いて次のように表すことができる。

 \displaystyle E = - \frac{\frac{1}{c}}{\frac{ \partial A }{\partial t}}

よって次の関係が成り立つ。

  \displaystyle \frac{dj}{dt} = -\frac{ne^2}{mc} \frac{ \partial A }{\partial t}

これを積分定数を0として積分すると、次の関係が導かれる。

  \displaystyle j = -\frac{ne^2}{mc} A

これがロンドン方程式である。ただし、この式は電子2個からなるクーパー対について成り立つため、正しくは電荷をeから2eに置き換える必要がある。